Un calculista molt ràpid i llest!
Fa un temps va sortir en un concurs de TV on es feien apostes (...) un
calculista que va fer una demostració en la qual assegurava que
era capaç de calcular en segons les arrels cúbiques o cinquenes
amb solucions enteres de l'1 al 100.
Va aconseguir superar l'aposta i va deixar bocabadat a més d'un
...
Potser ara us sorprendria si us digués que el que va fer era tan
senzill que, amb una petita estratègia i una mica de pràctica,
també és a l'abast de qualsevol aficionat al càlcul...
Ho vols saber?
Començaré per les arrels cinquenes, en primer lloc cal escriure
(i memoritzar) les potències cinquenes dels nombres de l'1 al 9:
| 15 = 1 | 25 = 32 | 35 = 243 |
| 45 = 1.024 | 55 = 3.125 | 65 = 7.776 |
| 75 = 16.087 | 85 = 32.768 | 95 = 59.049 |
Podem observar que les potències cinquenes dels nombres de l'1 al 9 acaben en la mateixa xifra que ells mateixos, és a dir, a partir de la xifra final d'un número podem deduir que la seva l'arrel cinquena coincideix amb la última xifra del número (si la solució és un enter).
El següent pas a fer és dividir el nombre donat en dues parts, una composta per les 5 últimes xifres i l'altre per la resta de xifres que quedin (donat que 105 = 100.000).
Per a obtenir la xifra corresponent a les desenes només caldrà veure entre quines dues potències cinquenes es troba la part del número donat que ens queda a l'esquerra, la desena és, doncs, la xifra inferior d'aquest interval.
La xifra de les unitats és idèntica a la xifra final del número donat.
Ex. Per a calcular l'arrel cinquena del número 254.803.968
es
fa el següent:
· Dividim el número en dues parts contant 5 xifres des del
final => 2548
i 03968
· Com que el 2548 està comprès entre 45
= 1.024 i
55
= 3.125
=>
la xifra de les desenes és 4
· Com que el 03968 acaba en 8
aquesta és la xifra de les unitats.
· Per tant, l'arrel cinquena de 254.803.968 és igual
a 48
Ex. Per a calcular l'arrel cinquena del número 1.073.741.824
es
fa el següent:
· Dividim el número en dues parts contant 5 xifres des del
final => 10737
i 41824
· Com que el 10737 està comprès entre 65
= 7.776 i
75
= 16.087 =>
la desena és 6
· Com que el 41824 acaba
en 4 aquesta
és la xifra de les unitats.
· Per tant, l'arrel cinquena de 1.073.741.824 és
igual a 64
Passem ara a les arrels cúbiques, en primer lloc cal escriure (i
memoritzar) les potències terceres o cubs dels nombres de l'1 al
9:
| 13 =1 | 23 = 8 | 33 = 27 |
| 43 = 64 | 53 =125 | 63 = 216 |
| 73 = 343 | 83 = 512 | 93 = 729 |
Observem ara que els cubs dels nombres de l'1 al 9 acaben tots en xifres
diferents i que no és repeteixen en cap cas.
Lògicament això ens permetrà, també, deduir
fàcilment la xifra de les unitats de les arrels cúbiques
de resultat enter, ja que no hi ha cap xifra repetida.
El següent pas és dividir el nombre donat en dues parts, una
composta per les 3 últimes xifres i l'altre per la resta de xifres
(donat que 103
= 1.000).
Per a obtenir la xifra corresponent a les desenes només caldrà
veure entre quines dues potències terceres es troba la part del
número donat que ens queda a l'esquerra, la desena serà,
doncs, la xifra inferior d'aquest interval.
La xifra de les unitats és calcula tenint en compte en quina xifra
acaben els cubs, així:
Els nombres: 1, 4, 6 i 9 acaben en la mateixa xifra que ells
mateixos.
Mentre que el 2 amb el 8 i el 3 amb el 7 s'inverteixen
entre ells, és a dir, els que acaben en 2 tenen per xifra final
del seu cub el 8, els que acaben en 3 tenen per xifra final del seu cub
el 7 i a l'inrevés.
Ex. Per a calcular l'arrel cúbica del número 658.503 es fa el següent:
Ex. Per a calcular l'arrel cúbica del número 658.503 es fa el següent:
· Dividim el número en dues parts contant 3 xifres des del
final => 658
i 503
· Com que el 658 està comprès entre 83
= 512 i
93
= 729
=>
la xifra de les desenes és 8
· Com que el 503 acaba en 3
que és com ho fa 73
= 343,
llavors la xifra de les unitats és 7
· Per tant, l'arrel cúbica de 658.503 és igual
a 87
Aquest mètode és vàlid per a totes les arrels d'índex imparell, si tenim en compte que hem de dividir els nombres a calcular en dues parts la de la dreta sempre de la mida de l'índex de l'arrel, és a dir, per les arrels setenes en dues parts comptant 7 xifres des de les unitats, etc.
I considerant també la relació que hi ha entre xifra de les
unitats del número i la de la seva potència.
Per les potències cinquena i novena coincideixen les unitats del
número amb les de la seva potència: Ex.
39
= 19.683,
89
= 134.217.728,
29=
512,
etc.
Les potències tercera i setena repeteixen el mateix esquema exposat
abans per als cubs, és a dir: 27
= 128,
37
= 2.187,
47
= 16.384,
87
= 2.097.152,
97
= 4.782.969
etc.
Però què passa amb les arrels d'índex parell?
Però què passa amb les arrels d'índex parell?
Doncs, que presenten la dificultat de que les xifres finals de les seves
potències no són úniques sinó que es repeteixen
i això impedeix calcular fàcilment la xifra de les unitats
seguint el mètode exposat.
| 12 =1 | 22 = 4 | 32 = 9 |
| 42 = 16 | 52 =25 | 62 = 36 |
| 72 = 49 | 82 = 64 | 92 = 81 |
Òbviament podríem aplicar només la primera part del
procés i dividir el nombre en dues parts que ens permetrien calcular
les desenes, però per la xifra de les unitats no tenim cap criteri
senzill de càlcul ens quedaríem a mitges.
| 14 =1 | 24 = 16 | 34 = 81 |
| 44 = 256 | 54 =625 | 64 = 1.296 |
| 74 = 2.401 | 84 =4.096 | 94 = 6.561 |
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada