La Geometria i la seua clasificació

2.1 Definició

La geometria és una part de les matemàtiques basada en la intuïció d'espai. El nom prové de la seva primera aplicació: la mesura de la Terra. Alguns dels apartats en què es divideix la geometria fan referència a la natura dels objectes d'estudi i al mètode emprat. Encara que els primers a utilitzar-la van ser els babilònics i els egipcis, com a ciència teòrica la iniciaren els grecs, des de Pitàgores fins a Aristòtil, passant també per Plató.
 Això no obstant, els geòmetres purs apareixen a Alexandria i a la Magna Grècia: són Euclides, Arquimedes i Apol·loni

2.2 Classificació:

2.2.0. Òptica geomètrica

L'òptica geomètrica és la part de l'òptica que considera la llum com un raig lluminós que es propaga en línia recta i que caracteritza els medis a través dels quals es propaga mitjançant l'índex de refracció (n). El seu objectiu principal és determinar les trajectòries de la llum a través de diversos medis.
En l'òptica geomètrica, la llum es propaga com una línia recta a una velocitat aproximada de 3 * 10⁸ m/s. La naturalesa ondulatòria de la llum pot ser menyspreada pel fet que aquí la llum és com un raig lineal de partícules que poden topar i, depenent del medi, es pot conèixer quin és el seu camí a seguir. Aquests raigs poden ser absorbits, reflectits o desviats seguint les lleis de la mecànica.

En l'òptica geomètrica es prescindeix dels fenòmens ondulatoris de la llum, que equival a considerar l'aproximació següent:

2.2.1 Geometria euclidianaÉs la geometria que utilitza els cinc postulats d‟Euclides, que diuen:

• Donats dos punts qualsevol, es pot traçar una recta que els uneix

•  Tota línia recta pot ser allargada indefinidament

•  Donat un punt qualsevol, es pot traçar una circumferència amb radi arbitrari i el

centre en el punt esmentat.

• Tots els angles rectes són iguals entre ells

•  Donada una recta i un punt exterior, només es pot traçar per aquest una recta

paral·lela a la recta donada.

2.2.2 Geometria plana
És la part de la geometria que inclou les figures que estan representades en un pla. Els elements físics plans constitueixen el suport de l'espai en dues dimensions. Un exemple de figures geomètriques planes són els polígons (triangles, quadrilàters...).

2.2.3 Geometria de l’espai
És la part de la geometria on els punts de les figures no estan tots en un mateix pla, és a dir, que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions.

2.2.4 Geometria descriptiva
És la geometria que tracta la representació gràfica de figures de l'espai per tal de resoldre problemes per mitjà d'operacions efectuades en un pla. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten deduir i construir allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, mesures i relacions geomètriques.
Aquesta geometria és molt utilitzada en el dibuix tècnic, en canvi des del punt de vista matemàtic no rep cap atenció.

2.2.5 Geometria afí
En aquesta geometria no es considera el tercer ni el quart postulat d'Euclides. Estudia les propietats geomètriques que es mantenen inalterables per les transformacions lineals i les translacions. Té la particularitat que no es poden mesurar angles ni comparar distàncies sobre rectes que tinguin direccions diferents.

2.2.6 Geometria projectiva
Estudia les propietats de les figures independentment de la idea de mesura. La geometria projectiva estudia els termes de perspectiva i horitzó.
Hi ha dues aproximacions:

• Des del punt de vista analític: parteix de la definició d'espai projectiu associat a un espai vectorial. 

• Des del punt de vista sintètic: parteix d'aquests tres axiomes:

• Dos punts determinen una recta (dues rectes es tallen en un punt)

•  Dues rectes que recolzen dues rectes que es tallen també es tallen

• En tota recta hi ha almenys tres punts

Un dels principis bàsics de la geometria projectiva és el principi de dualitat. El teorema de Desargues, fonamental en la geometria projectiva, demostra el lligam entre l'àlgebra lineal i la geometria.

 2.2.7 Geometria no euclidiana
És aquella que nega el cinquè postulat d'Euclides, que diu: “Atès un punt exterior a una recta, només es pot traçar una paral·lela a la recta donada”. Matemàtics posteriors demostraren que prescindint del cinquè postulat i suposant l'existència de més d'una paral·lela s'obté una teoria geomètrica en què la suma dels angles d'un triangle és menor de 180º.
Abans dels descobriments esmentats, altres matemàtics van estar a punt de treure a la llum la geometria hiperbòlica, però els va faltar acceptar la possibilitat d'una geometria diferent de la clàssica.

2.2.8 Geometria sintètica
És una geometria oposada a la geometria analítica. Parteix dels axiomes comentats anteriorment i dedueix els teoremes emprant les regles de la lògica i refusa les propietats analítiques de les figures.

2.2.9 Geometria analítica
Estudia les propietats de les línies i superfícies representades per mitjà d'equacions. El principi de la geometria analítica consisteix a identificar els punts del pla amb parelles de nombres (x,y). Per tant, les rectes corresponen a les equacions lineals en x i y.
Pot ser considerada com la geometria dels espais vectorials, ja que tracta de l'estructura lineal de l'espai.

Els problemes principals d'aquesta geometria són: l'estudi d'equacions de varietats lineals, les transformacions lineals, els canvis de coordenades i les formes multilineals. De fet, també podem dir que la geometria analítica és la part geomètrica de l'àlgebra lineal.

 2.2.10 Geometria diferencial
La geometria diferencial del s. XVII està relacionada amb l'estudi de corbes, la determinació de tangents, les normals, la representació gràfica, etc. Pel que fa a l'estudi de superfícies, L. Euler va ser el primer a publicar-ne un treball sistemàtic, on hi ha els conceptes de curvatura principal i seccional i es donen equacions de corbes geodèsiques.

2.2.11 Geometria algèbrica
És la geometria que estudia les corbes i superfícies definides per les equacions algebraiques.
El llenguatge espectral ha esdevingut bàsic en geometria algèbrica i permet donar una visió geomètrica de molts problemes algèbrics. Com a creador de la geometria algèbrica cal esmentar Riemann; el seu treball sobre funcions complexes va ser adaptat al cas algèbric. També cal destacar A. Grothendieck com a exponent principal de la nova geometria algèbrica.

2.2.12 Geometria no commutativa
És la geometria que estudia les estructures algebraiques en les quals l'operació fonamental no és pas commutativa.